Bogo の記事翻訳機能をカスタム投稿タイプにも対応させるコードがオンライン上に散見されますが、
自動でやるときちょっぴりつまづいたのでここに超簡単にメモします。

結論

本記事作成時 2025年2月3日 時点では、Wordpress 6.7.1 が最新なのですが、
get_post_types は取得した値が連想配列 (associative array) で返ってくるのでインデックス配列 (indexed array) に変換する必要がありました。

add_filter( 'bogo_localizable_post_types', 'bogo_localize_custom_post_types', 10, 1 );
function bogo_localize_custom_post_types($localizable) {
  $args = [
    'public'   => true,
    '_builtin' => false
  ];
  $result = get_post_types($args, 'names');
  $custom_post_types = array_keys($result); // ここ

  return array_merge($localizable, $custom_post_types);
}

以上！